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% Archivo: mat2002moda1.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002ModA1)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen modelo. \par
  Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
  Se considera una varilla $AB$ de longitud 1. El extremo $A$ de
  esta varilla recorre completamente la circunferencia de ecuación
  $x^2+y^2-4x-2y+1=0$; la varilla se mantiene en todo momento
  tangente a dicha circunferencia.
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1 punto) Determinar el lugar geométrico descrito por
      el extremo $B$ de la varilla.
    \item (1 punto) Obtener la ecuación cartesiana de dicho lugar
      geométrico.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Encontramos el centro y el radio de la circunferencia dada:
  \begin{equation*}
  x^2+y^2-4x-2y+1=0 \Rightarrow x^2-4x+4+y^2-2y+1=4 \Rightarrow
  (x-2)^2+(y-1)^2=2^2
  \end{equation*}
  El centro es $C=(2,1)$ y el radio es $R=2$

  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) circle (2cm);
  \draw (0,0) node[above] {C} -- (2,0) node[right] {A} -- (2,-1) node[right] {B} -- (0,0);
  \draw (1,0.2) node {2};
  \draw (2.2,-0.5) node {1};
  \end{tikzpicture}
  \end{center}

  El triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$, de modo que
  $d(B,C)=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

  % Solución

  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  El punto $B$ describe la circunferencia de centro el punto
  $(2,1)$ y radio $\sqrt{5}$

  \item La ecuación de la circunferencia de centro el punto
  $(2,1)$ y radio $\sqrt{5}$ es
  \begin{equation*}
  (x-2)^2+(y-1)^2=(\sqrt{5})^2 \Rightarrow x^2-4x+4+y^2-2y+1=5 \Rightarrow
  x^2+y^2-4x-2y=0
  \end{equation*}

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $x^2+y^2-4x-2y=0$

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002moda1.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}