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% Archivo: mat2002moda3.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
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% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002ModA3)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen modelo. \par
  Opción A. Ejercicio 3. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Sea $A$ una matriz cuadrada que verifica $A^2+2A=I$, donde $I$
  denota la matriz identidad.
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1 punto) Demostrar que $A$ es no singular $(\det(A)\ne0)$ y
      expresar $A^{-1}$ en función de $A$ e $I$.
    \item (1 punto) Calcular dos números $p$ y $q$ tales que
      $A^3=pI+qA$.
    \item (1 punto) Si $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&k\end{pmatrix}$ cumple
      la relación de partida, calcular el valor de $k$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Suponemos que $|A|=0$ y llegaremos a una contradicción,
    lo que demostrará que $|A|\ne0$:
    \begin{equation*}
    A^2+2A=I \overset{(1)}{\Longrightarrow}
    AA+2IA=I \overset{(2)}{\Longrightarrow}
    (A+2I)A=I \overset{(3)}{\Longrightarrow}
    \det((A+2I)A)=\det(I) \overset{(4)}{\Longrightarrow}
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    \overset{(4)}{\Longrightarrow}
    \det(A+2I)\det(A)=1 \overset{(5)}{\Longrightarrow}
    \det(A+2I)\cdot 0=1 \overset{(6)}{\Longrightarrow}
    0=1 \rightarrow \mbox{contradicción}
    \end{equation*}
    (1) $\rightarrow$ Definición de cuadrado y de $I$\\
    (2) $\rightarrow$ El producto de matrices es distributivo respecto a la suma \\
    (3) $\rightarrow$ Dos matrices iguales tienen el mismo determinante \\
    (4) $\rightarrow$ El determinante de un producto de matrices es el producto de sus
        determinantes \\
    (4) $\rightarrow$ Sabemos que $\det(I)=1$ \\
    (5) $\rightarrow$ Estamos suponiendo que $\det(A)=0$ \\
    (6) $\rightarrow$ Cualquier número multiplicado por 0 da 0

    Trasformamos la expresión que da el enunciado para llegar al valor de $A^{-1}$:
    \begin{equation*}
    A^2+2A=I \overset{(1)}{\Longrightarrow}
    I=AA+2A \overset{(2)}{\Longrightarrow}
    IA^{-1}=(AA+2A)A^{-1} \overset{(3)}{\Longrightarrow}
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    \overset{(3)}{\Longrightarrow}
    A^{-1}=(AA)A^{-1}+2AA^{-1} \overset{(4)}{=}
    A(AA^{-1})+2I \overset{(5)}{=}
    AI+2I \overset{(6)}{=} A+2I
    \end{equation*}
    (1) $\rightarrow$ Definición de cuadrado\\
    (2) $\rightarrow$ Multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ \\
    (3) y (6) $\rightarrow$ Definición de $I$ \\
    (3) $\rightarrow$ El producto de matrices es distributivo respecto a la suma \\
    (4) $\rightarrow$ El producto de matrices es asociativo \\
    (4) y (5) $\rightarrow$ Definición de matriz inversa

    % Solución
    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $|A|\ne0$ y $A^{-1}=A+2I$
  \item Trasformamos la expresión que da el enunciado para llegar al valor de $A^3$:
    \begin{equation*}
    A^2+2A=I \Rightarrow A^2=I-2A \Rightarrow A^3=(I-2A)A = A - 2A^2 = A - 2 (I-2A) =
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    = A - 2I +4A = -2I + 5A
    \end{equation*}
    % Solución
    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $p=-2$ y $q=5$

  \item Sustituimos en la expresión del enunciado las matrices por sus valores:
    \begin{equation*}
    A^2+2A=I \Rightarrow 
    \begin{pmatrix}0&1\\1&k\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\1&k\end{pmatrix}
    +2\begin{pmatrix}0&1\\1&k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
    \Rightarrow
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    \Rightarrow
    \begin{pmatrix}1&k\\k&1+k^2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&2\\2&2k\end{pmatrix}
    = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
    \Rightarrow
    \begin{pmatrix}1&k+2\\k+2&1+k^2+2k\end{pmatrix}
    = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
    \end{equation*}
    $k$ debe ser solución del siguiente sistema:
    \begin{equation*}
    \left\lbrace 
    \begin{array}{l} 1=1 \\ k+2=0 \\ k+2=0 \\ 1+k^2+2k=1 \end{array}
    \right. 
    \end{equation*}
    Evidentemente, $k=-2$ verifica las cuatro ecuaciones.

    % Solución
    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $k=-2$

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002moda3.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}