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% Archivo: mat2002moda4.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
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% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002ModA4)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen modelo. \par
  Opción A. Ejercicio 4. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Dada la parábola $y=4-x^2$, se considera el triángulo rectángulo $T(r)$ formado
  por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa
  $x=r>0$.
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (2 puntos) Hallar $r$ para que $T(r)$ tenga área mínima.
    \item (1 punto) Calcular el área de la región delimitada por la parábola,
      su tangente en el punto de abscisa $x=1$, y el eje vertical.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Necesitamos la ecuación de la recta $t$, tangente a la gráfica de
    la parábola en el punto de abscisa $r$. La ordenada del punto de contacto
    es $y=4-r^2$. La pendiente es $y'_{x=r}$:
    \begin{equation*}
    y=4-x^2 \Rightarrow y'=-2x \Rightarrow y'_{x=r} = -2r
    \end{equation*}
    Por tanto la ecuación de $t$ es $y-(4-r^2)=-2r(x-r)$

    Cortando la recta $t$ con los dos ejes de coordenadas calculamos las
    longitudes de los catetos del triángulo rectángulo $T(r)$, que llamaremos
    $x_r$ e $y_r$:
    \begin{equation*}
    (x_r,0) \in t \Rightarrow -(4-r^2)=-2r(x_r-r) \Rightarrow
    \dfrac{4-r^2}{2r}=x_r-r \Rightarrow x_r = \dfrac{2}{r} + \dfrac{r}{2}
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    (0,y_r) \in t \Rightarrow y_r-(4-r^2)=-2r(-r) \Rightarrow y_r = r^2+4
    \end{equation*}
    La superficie del triángulo $T(r)$ es
    \begin{equation*}
    S(r) = \dfrac{1}{2} x_r y_r =
    \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2}{r} + \dfrac{r}{2}\right)
    \left( r^2+4 \right) =
    \dfrac{1}{2} \left( 2r + \dfrac{8}{r} + \dfrac{r^3}{2} + 2r\right) = 
    \dfrac{1}{4} \left( r^3 + 8r + \dfrac{16}{r} \right)
    \end{equation*}
    Calculamos el mínimo de $S(r)$ resolviendo la ecuación $S'(r)=0$:
    \begin{equation*}
    S'(r) = \dfrac{1}{4} \left( 3r^2 + 8 - \dfrac{16}{r^2} \right) = 0
    \Rightarrow 3r^4+8r^2-16=0 \Rightarrow
    r^2 = \dfrac{-8\pm\sqrt{64+12 \cdot 16}}{6} =
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    = \dfrac{-8\pm\sqrt{256}}{6} = \dfrac{-8\pm 16}{6} =
    \left\lbrace \begin{array}{l} \frac{8}{6} \\ \frac{-24}{6}\end{array}\right. 
    = \left\lbrace \begin{array}{l} \frac{4}{3} \\ -4 \end{array}\right.
    \Rightarrow r =
    \left\lbrace \begin{array}{l}
      \pm\sqrt{\frac{4}{3}} \\ \pm\sqrt{-4} \rightarrow \mbox {sin solución}
    \end{array} \right.
    \end{equation*}
    Como se pide $r>0$, la única posibilidad es $r=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$.
    Comprobamos que la función $S(r)$ tiene un mínimo para ese valor:
    \begin{equation*}
    S''(r) = \dfrac{1}{4} \left( 6r + \dfrac{32}{r^3} \right) \Rightarrow
    S''\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) >0 \Rightarrow \mbox{S tiene un mínimo en }
    \frac{2}{\sqrt{3}}
    = 1.155
    \end{equation*}

    % Solución
    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $r=1.155$\newpage
  \item Necesitamos la ecuación de la recta $t$, tangente a la gráfica de
    la parábola en el punto de abscisa 1.

    La ordenada del punto de contacto es $y=4-1^2=3$.

    La pendiente es $y'_{x=1}=-2$.

    Por tanto la ecuación de $t$ es $y-3=-2(x-1)$, que dejamos como $y=-2x+5$.

    La recta $t$ y la parábola se cortan en $x=1$, luego la superficie pedida es
    \begin{equation*}
    \int _0 ^1 \left( -2x+5-(4-x^2) \right) dx =
    \int _0 ^1 \left( x^2-2x+1 \right) dx =
    \left. \frac{1}{3}x^3 -x^2 + x \right] _0 ^1 =
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    = \frac{1}{3}-1+1 = \frac{1}{3} = 0.3333
    \end{equation*}

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    La superficie es 0.3333 $u^2$

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002moda4.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}