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% Archivo: mat2002modb1.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Operador adj
\DeclareMathOperator{\adj}{adj}

% Datos para el PDF
\ifpdf
\pdfinfo
  {
  /Title  (Mat2002ModB1)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen modelo. \par
  Opción B. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Sean las matrices
  $A=\begin{pmatrix} 1&0&-1 \\-1&0&2 \\ 0&1&0 \end{pmatrix}$,
  $B=\begin{pmatrix} 1&0&2 \\-1&1&0 \\ 1&0&3 \end{pmatrix}$.
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1 punto) Calcular $A^{-1}$.
    \item (1 punto) Resolver la ecuación matricial $AX=BA$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Para saber si la matriz $A$ tiene inversa calculamos
    su determinante:
  \begin{equation*}
  |A| = \begin{vmatrix} 1&0&-1 \\-1&0&2 \\ 0&1&0 \end{vmatrix} =
  -1 \ne 0 \Rightarrow A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\adj(A^t) = -\adj(A^t)
  \end{equation*}
  Calculamos la matriz inversa:
  \begin{equation*}
  A = \begin{pmatrix} 1&0&-1 \\-1&0&2 \\ 0&1&0 \end{pmatrix} \Rightarrow
  A^t = \begin{pmatrix} 1&-1&0 \\0&0&1 \\ -1&2&0 \end{pmatrix} \Rightarrow
  \adj(A^t) = \begin{pmatrix} -2&-1&0 \\ 0&0&-1 \\ -1&-1&0 \end{pmatrix}
  \Rightarrow
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  \Rightarrow
  A^{-1} = -\adj(A^t) = 
  \begin{pmatrix} 2&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&1&0 \end{pmatrix}
  \end{equation*}
  % Solución

  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&1&0 \end{pmatrix}$

  \item Averiguamos cómo calcular $X$:
    \begin{equation*}
    AX=BA \overset{(1)}{\Longrightarrow} 
    A^{-1}(AX)=A^{-1}(BA) \overset{(2)}{\Longrightarrow} 
    (A^{-1}A)X=A^{-1}(BA) \overset{(3)}{\Longrightarrow} 
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    \overset{(3)}{\Longrightarrow} 
    IX=A^{-1}(BA) \overset{(4)}{\Longrightarrow} 
    X=A^{-1}(BA)
    \end{equation*}
    (1) $\rightarrow$ Multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ \\
    (2) $\rightarrow$ El producto de matrices es asociativo \\
    (3) $\rightarrow$ Definición de matriz inversa, siendo I la matriz identidad \\
    (4) $\rightarrow$ Definición de matriz identidad

    Solo queda hacer las operaciones:
    \begin{equation*}
    X = \begin{pmatrix} 2&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&1&0 \end{pmatrix}
    \left(  \begin{pmatrix} 1&0&2 \\-1&1&0 \\ 1&0&3 \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix} 1&0&-1 \\-1&0&2 \\ 0&1&0 \end{pmatrix} \right) =
    \begin{pmatrix} 2&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&1&0 \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix} 1&2&-1 \\ -2&0&3 \\ 1&3&-1 \end{pmatrix} =
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    = \begin{pmatrix} 0&4&1 \\ 1&3&-1 \\ -1&2&2 \end{pmatrix}
    \end{equation*}\newpage
    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $X = \begin{pmatrix} 0&4&1 \\ 1&3&-1 \\ -1&2&2 \end{pmatrix}$

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002modb1.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}