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% Archivo: mat2002modb2.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Declaración de rg
\DeclareMathOperator{\rg}{rg}

% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002ModB2)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen modelo. \par
  Opción B. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Sea la matriz $A=\left( \begin{smallmatrix} 2&-3 \\ 1&-2 \end{smallmatrix} \right)$.
  Para cada número real $\lambda$ definimos la matriz $B=A-\lambda I$, donde
  $I$ denota la matriz identidad 2 $\times$ 2.
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (0,5 puntos) Hallar los valores de $\lambda$ que hacen que el determinante
      de $B$ sea nulo.
    \item (1,5 puntos) Resolver el sistema $B \left( \begin{smallmatrix}
      x \\ y \end{smallmatrix} \right) = \left( \begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \end{smallmatrix} \right)$
      para los diferentes valores de $\lambda$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Calculamos el determinante de $B$:
    \begin{equation*}
    |B| = |A - \lambda I| =
    \left | \begin{pmatrix} 2&-3 \\ 1&-2 \end{pmatrix} -
    \lambda \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \right | =
    \begin{vmatrix} 2-\lambda & -3 \\ 1&-2-\lambda \end{vmatrix} =
    \lambda ^2 - 4 + 3 = \lambda ^2 - 1
    \end{equation*}
    Resolvemos la ecuación $|B|=0$:
    \begin{equation*}
    |B|=0 \Rightarrow \lambda ^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm \sqrt{1}
    = \left\lbrace \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right.
    \end{equation*}
  % Solución

  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $\lambda=-1$ y $\lambda=1$

  \item Hay que resolver el sistema
    $\begin{pmatrix} 2-\lambda & -3 \\ 1&-2-\lambda \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =
    \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

    Si $\lambda \ne -1$ y $\lambda \ne 1$ entonces $|B| \ne 0$ luego
    $\rg(B)=2$ y el sistema es homogéneo compatible determinado, así
    que su única solución es la trivial
    $\left\lbrace \begin{array}{l} x=0 \\ y=0 \end{array} \right.$

    Si $\lambda = -1$ el sistema es 
    $\begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 1&-1 \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =
    \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, que es equivalente
    a $\left\lbrace x-y=0 \right. $, cuya solución es
    $\left\lbrace \begin{array}{l} x=\mu \\ y=\mu \end{array} \right.$
    con $\mu \in \mathbf{R}$
    
    Si $\lambda = 1$ el sistema es 
    $\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1&-3 \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =
    \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, que es equivalente
    a $\left\lbrace x-3y=0 \right. $, cuya solución es
    $\left\lbrace \begin{array}{l} x=3\mu \\ y=\mu \end{array} \right.$
    con $\mu \in \mathbf{R}$
\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002modb2.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}