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% Archivo: mat2002modb3.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002ModB3)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen modelo. \par
  Opción B. Ejercicio 3. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Sea la circunferencia de ecuación $x^2+y^2-2x-4y+1=0$.
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1 punto) Hallar su centro y su radio y dibujarla.
    \item (1 punto) Hallar el punto de la curva, de abscisa cero, más
      alejado del origen; hallar también la recta tangente a la curva
      en ese punto.
    \item (1 punto) Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas
      desde el punto $P(3,0)$ razonando la respuesta.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Transformamos la ecuación de la circunferencia para obtener el
  centro y el radio:
  \begin{equation*}
  x^2+y^2-2x-4y+1=0 \Rightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4=4 \Rightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=2^2
  \end{equation*}
  El centro es el punto $C=(1,2)$ y el radio es $R=2$
  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
  \draw (1,2) circle (2cm);
  \draw (-2,0) -- (4,0);
  \draw (0,-1) -- (0,5);
  \draw (-1,0.2) -- (-1,-0.2) node[below] {-1};
  \draw (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below] {1};
  \draw (2,0.2) -- (2,-0.2) node[below] {2};
  \draw (3,0.2) -- (3,-0.2) node[below] {3};
  \draw (0.2,1) -- (-0.2,1) node[left] {1};
  \draw (0.2,2) -- (-0.2,2) node[left] {2};
  \draw (0.2,3) -- (-0.2,3) node[left] {3};
  \draw (0.2,4) -- (-0.2,4) node[left] {4};
  \end{tikzpicture}
  \end{center}

  \item Sustituimos $x=0$ en la ecuación de la circunferencia para
  obtener la ordenada:
  \begin{equation*}
  x=0 \Rightarrow (-1)^2+(y-2)^2=2^2 \Rightarrow (y-2)^2 = 3
  \Rightarrow y-2 = \pm \sqrt{3} \Rightarrow y = 2 \pm \sqrt{3}
  \end{equation*}
  El punto más alejado del origen tendrá ordenada $y = 2 + \sqrt{3}$,
  luego es $A=(0,2 + \sqrt{3})$

  La pendiente de la recta que une los puntos $A$ y $C$ es
  $m_{AC}=\dfrac{2 + \sqrt{3}-2}{0-1} = -\sqrt{3}$, luego
  la recta $t$ tangente a la circunferencia en el punto $A$,
  por ser perpendicular a la recta que pasa por $A$ y $C$, tiene
  pendiente $m_t=\dfrac{-1}{m_{AC}}=\dfrac{-1}{-\sqrt{3}}=
  \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

  Como ya tenemos la pendiente y la ordenada en el origen de $t$,
  $t \equiv y = \dfrac{1}{\sqrt{3}} x + 2 + \sqrt{3}$

  \item Las tangentes pedidas son el eje de abscisas $t_1 \equiv y=0$
  y la recta vertical $t_2 \equiv x=3$, ya que ambas rectas verifican
  que su distancia hasta el punto $C$, centro de la circunferencia,
  es igual a 2, el radio.

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
%\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002modb3.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
%\end{table}
\end{document}