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% Archivo: mat2002modb3.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Definición de D y Graf
\DeclareMathOperator{\D}{D}
\DeclareMathOperator{\Graf}{Graf}

% Datos para el PDF
\ifpdf
\pdfinfo
  {
  /Title  (Mat2002ModB4)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen modelo. \par
  Opción B. Ejercicio 4. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Se considera la función $f(x)=xe^{3x}$.
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1,5 puntos) Estudiar y representar gráficamente la función $f$.
    \item (1,5 puntos) Sabiendo que el área de la región determinada por la
      gráfica de $f$ y el eje $OX$ entre $x=0$ y $x=p\;(p>0)$ vale $\frac{1}{9}$,
      calcular el valor de $p$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item $\D(f)=\mathbf{R}$, $f$ no es par ni impar, es continua por ser producto
  y composición de funciones continuas. Calculamos los puntos de corte con los
  ejes:
  \begin{equation*}
  x=0 \Rightarrow y=f(0)=0 \rightarrow (0,0) \in \Graf(f)
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow xe^{3x}=0 \Rightarrow x=0 \rightarrow (0,0) \in \Graf(f)
  \end{equation*}

  $f$ no tiene asíntotas verticales por ser continua.

  Estudiamos el comportamiento cuando $x \rightarrow \infty$:
  \begin{equation*}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} f(x) =
  \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} xe^{3x} = \infty
  \rightarrow f \mbox{ no tiene asíntota horizontal por la derecha}
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} =
  \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \dfrac{xe^{3x}}{x} = 
  \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} e^{3x} = \infty
  \rightarrow f \mbox{ no tiene asíntota oblicua por la derecha}
  \end{equation*}
  Estudiamos el comportamiento cuando $x \rightarrow -\infty$:
  \begin{equation*}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty} f(x) =
  \mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty} xe^{3x} =
  \mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x}{e^{-3x}} =
  \mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{-3e^{-3x}} = 0
  \rightarrow
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  \rightarrow \mbox{la recta } y=0 \mbox{ es asíntota horizontal por la izquierda}
  \end{equation*}
  Calculamos las coordenadas de los extremos relativos:
  \begin{equation*}
  f(x) = xe^{3x} \Rightarrow f'(x)=1e^{3x} + x3e^{3x} = (3x+1)e^{3x}
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  f'(x) = 0 \Rightarrow (3x+1)e^{3x} = 0 \Rightarrow 3x+1 = 0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  f'(x) = (3x+1)e^{3x} = 0 \Rightarrow f''(x)=3e^{3x}+(3x+1)3e^{3x} \Rightarrow
  f''\left( -\dfrac{1}{3} \right) >0 \rightarrow
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  \rightarrow f \mbox{ tiene un mínimo relativo en } x=-\dfrac{1}{3}
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  x=-\dfrac{1}{3} \Rightarrow y=f\left( -\frac{1}{3} \right) =
  -\dfrac{1}{3} e^{3\left( -\frac{1}{3}\right) } = 
  -\dfrac{1}{3} e^{-1}
  \end{equation*}
  $f$ tiene un mínimo relativo en el punto (-0.33,-0.12)

  Calculamos las coordenadas de los puntos de inflexión:
  \begin{equation*}
  f''(x)=3e^{3x}+(3x+1)3e^{3x} = (3+9x+3)e^{3x} = (9x+6)e^{3x}
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  f''(x)=0 \Rightarrow (9x+6)e^{3x} = 0 \Rightarrow 9x+6=0 \Rightarrow
  x=-\dfrac{6}{9} = - \dfrac{2}{3}
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  f''(x) = (9x+6)e^{3x} = 0 \Rightarrow f'''(x)=9e^{3x}+(9x+6)3e^{3x} \Rightarrow
  f'''\left( -\dfrac{2}{3} \right) \ne 0 \rightarrow
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  \rightarrow f \mbox{ tiene un punto de inflexión } x=-\dfrac{2}{3}
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  x=-\dfrac{2}{3} \Rightarrow y=f\left( -\frac{2}{3} \right) =
  -\dfrac{2}{3} e^{3\left( -\frac{2}{3}\right) } = 
  -\dfrac{2}{3} e^{-2}
  \end{equation*}
  $f$ tiene un punto de inflexión en el punto (-0.67,-0.09)

  Al estar el mínimo relativo y el punto de inflexión tan próximos
  entre sí y al eje de abscisas, la representación gráfica debe ser
  aproximada:

  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
  \draw (-2.5,0) -- (1.5,0);
  \draw (0,-0.5) -- (0,1.5);
  \draw (-2.4,-0.1) .. controls (-2,-0.1) and (-1.5,-0.6) .. (-1,-0.5)
                    .. controls (-0.5,-0.3) .. (0,0)
                    .. controls (0.8,1) .. (1,1.5);
  \end{tikzpicture}
  \end{center}

  \item Ya que la gráfica de $f$ no corta al eje de abscisas en ningún punto
  entre 0 y $p$, el área de la región se calcula como $\int_0^pf$.

  Calculamos una primitiva de $f$ usando el método de integración por partes:
  \begin{equation*}
  \int xe^{3x}dx \overset{(1)}{=}
    x\dfrac{1}{3}e^{3x} - \int \dfrac{1}{3}e^{3x} dx =
    \dfrac{x}{3}e^{3x} - \dfrac{1}{3} \int e^{3x} dx =
    \dfrac{x}{3}e^{3x} - \dfrac{1}{9} e^{3x} =
    \left( \dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{9} \right) e^{3x}
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  (1) \left[ \begin{array}{l}
      u=x \Rightarrow du=dx \\
      dv = e^{3x}dx \Rightarrow v = \dfrac{1}{3}e^{3x}
      \end{array} \right. 
  \end{equation*}
  Calculamos la integral definida:
  \begin{equation*}
  \int _0 ^p f = \left. 
    \left( \dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{9} \right) e^{3x}
    \right] _0 ^p =
    \left( \dfrac{p}{3}-\dfrac{1}{9} \right) e^{3p} -
    \left( \dfrac{0}{3}-\dfrac{1}{9} \right) e^0 =
    \left( \dfrac{p}{3}-\dfrac{1}{9} \right) e^{3p} + \dfrac{1}{9}
  \end{equation*}
  Resolvemos la ecuación:
  \begin{equation*}
  \int _0 ^p f = \dfrac{1}{9} \Rightarrow
  \left( \dfrac{p}{3}-\dfrac{1}{9} \right) e^{3p} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{9}
  \Rightarrow \left( \dfrac{p}{3}-\dfrac{1}{9} \right) e^{3p} = 0
  \Rightarrow \dfrac{p}{3}-\dfrac{1}{9} = 0
  \Rightarrow \dfrac{p}{3} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
  \Rightarrow p = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}
  \end{equation*}

  % Solución

  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $p=\dfrac{1}{3}$
\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002modb4.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}