%--------------------------
% Archivo: mat2002sepa2.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
%--------------------------

% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
\setlength{\oddsidemargin}{-0.54cm}
\setlength{\topmargin}{-0.54cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{25.7cm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{1.3ex}

% Paquetes
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{hyperref}

% Datos para el PDF
\ifpdf
\pdfinfo
  {
  /Title  (Mat2002SepA2)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi

\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de septiembre. \par
  Opción A. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
  Se considera la función real de variable real definida por:
  \begin{equation*}
    f(x)=
    \left\lbrace\begin{array}{rll}
    \sqrt[3]{x-2} & \mbox{si} & x \geq 2 \\
    x(x-2) & \mbox{si} & x<2
  \end{array} \right. \end{equation*}
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1 punto) Estudiar su continuidad y derivabilidad.
    \item (1 punto) Hallar la ecuación cartesiana de la recta
      tangente a la gráfica de $f$ en el punto (3,1).
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Consideramos las funciones $f_1(x)=x(x-2)$ y
    $f_2(x)=\sqrt[3]{x-2}$, que forman parte de la
    definición de la función $f$.

    Como $f_1$ y $f_2$ son continuas, $f$ es continua
    en los intervalos $(-\infty,2)$ y $(2,\infty)$.

    Como $f_1$ y $f_2$ son continuas, $f$ será continua en
    $2$ cuando $f_1(2)=f_2(2)$.
    \begin{equation*}
    \left. 
    \begin{array}{ll} f_1(2)=0 \\ f_2(2)=0 \end{array}
    \right\rbrace \Rightarrow
    f_1(2)=f_2(2) \Rightarrow f \mbox{ es continua en } 2.
    \end{equation*}
    Por tanto $f$ es continua.

    Como $f_1$ es derivable y $f_2$ es derivable
    en los intervalos $(-\infty,2)$ y $(2,\infty)$,
    $f$ es derivable en los intervalos $(-\infty,2)$
    y $(2,\infty)$.

    Para estudiar la derivabilidad de $f$ en el punto 2
    recurrimos a la definición de derivada y comenzamos
    por calcular la derivada por la derecha:
    \begin{equation*}
    f'(2^+) = 
    \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} =
    \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \dfrac{f_2(2+h)-0}{h} =
    \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \dfrac{\sqrt[3]{2+h-2}}{h} =
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \dfrac{\sqrt[3]{h}}{h} =
    \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt[3]{h^2}} =
    \infty \Rightarrow f \mbox{ no es derivable en } 2.
    \end{equation*}

    % Solución
    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $f$ es continua. $f$ es derivable en $(-\infty,2)$
    y $(2,\infty)$

  \item $f(3)=1$, luego efectivamente el punto $(3,1)$ pertenece
    a la gráfica de $f$.
    \begin{equation*}
    f_2(x)=\sqrt[3]{x-2} = (x-2)^{\frac{1}{3}} \Rightarrow
    f_2'(x)=\dfrac{1}{3} (x-2)^{-\frac{2}{3}}
    \end{equation*}
    La pendiente de la recta tangente vendrá dada por la derivada:
    \begin{equation*}
    f'(3)=f_2'(3)=\dfrac{1}{3} (3-2)^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{3}
    \end{equation*}
    La ecuación punto-pendiente de la recta tangente es
    $y-1=\dfrac{1}{3}(x-3) \Rightarrow y = \dfrac{1}{3}x$
    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $y = \dfrac{1}{3}x$
\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002sepa2.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{document}