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% Archivo: mat2002sepb1.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002SepB1)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi

\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de septiembre. \par
  Opción B. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
  \hyphenation{di-fe-ren-cia}
  Hallar una ecuación cartesiana del lugar geométrico de los puntos
  del plano cuya diferencia de distancias a los puntos $A(0,3)$ y
  $B(0,-1)$ es igual a 1. Identificar dicho lugar geométrico.
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución
\textbf{\underline{Primera resolución}}

El lugar geométrico pedido es una hipérbola con focos en los
puntos $A$ y $B$.

La distancia focal es $d(A,B)=4 \Rightarrow 2c=4 \Rightarrow c=2$ 

El centro es el punto medio del segmento $\overline{AB}$, el punto
$C=(0,1)$.

Dos vértices de la hipérbola son $D=(0,\frac{1}{2})$ y
$E=(0,\frac{3}{2})$, que cumplen la condición y están en la recta
determinada por $A$ y $B$.

Un eje mide $d(D,E)=1 \Rightarrow 2b=1 \Rightarrow b=\frac{1}{2}$

Calculamos el otro eje:
$c^2=b^2+a^2 \Rightarrow 2^2 = \left( \frac{1}{2}\right) ^2 + a^2 \Rightarrow
a=\sqrt{4-\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}}$

La ecuación es 
$\dfrac{(y-1)^2}{\left( \frac{1}{2}\right) ^2} -
\dfrac{(x-0)^2}{\left( \sqrt{\frac{15}{4}}\right) ^2} = 1$
que simplificada queda $\dfrac{(y-1)^2}{\frac{1}{4}}-\dfrac{x^2}{\frac{15}{4}} = 1$

% Solución

\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{Solución}\quad
La hipérbola de ecuación
$\dfrac{(y-1)^2}{\frac{1}{4}}-\dfrac{x^2}{\frac{15}{4}} = 1$

\addvspace{5mm}

% Resolución
\textbf{\underline{Se}g\underline{unda resolución}}

El lugar geométrico pedido es una hipérbola de focos los
puntos $A$ y $B$. Llamamos $P=(x,y)$ a un punto cualquiera de
ella y encontramos la ecuación escribiendo algebraicamente la
condición y simplificando la expresión.
\begin{equation*}
d(P,A)-d(P,B)=1 \Rightarrow \sqrt{x^2+(y-3)^2} - \sqrt{x^2+(y+1)^2} = 1
\Rightarrow
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-3)^2} = 1 + \sqrt{x^2+(y+1)^2} \Rightarrow
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow x^2+(y-3)^2 = 1 + x^2+(y+1)^2 + 2\sqrt{x^2+(y+1)^2} \Rightarrow
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow x^2+y^2-6y+9 = 1 + x^2+y^2+2y+1 + 2\sqrt{x^2+(y+1)^2} \Rightarrow
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow -8y+7 = 2\sqrt{x^2+(y+1)^2} \Rightarrow
64y^2-112y+49=4x^2+4y^2+8y+4 \Rightarrow
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow 60y^2-120y+45-4x^2=0 \Rightarrow
60y^2-120y+60-4x^2=15 \Rightarrow
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rightarrow 60(y-1)^2-4x^2=15
\end{equation*}
% Solución

\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{Solución}\quad
La hipérbola de ecuación
$60(y-1)^2-4x^2=15$

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002sepb1.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}