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% Archivo: mat2002sepb2.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002SepB2)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi

\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de septiembre. \par
  Opción B. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Para cada valor del parámetro real $a$, se consideran los
  tres planos siguientes:
  \begin{equation*}
  \pi_1:\,x+y+az=-2\:;\: \pi_2:\,x+ay+z=-1\:;\: \pi_3:\,ax+y+z=3
  \end{equation*}
  Se pide:
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1,5 puntos) Calcular los valores de $a$ para los cuales
      los tres planos anteriores contienen una recta común.
    \item (0,5 puntos) Para los valores de $a$ calculados, hallar
      unas ecuaciones cartesianas de dicha recta común.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Para que tres planos tengan una recta común debe ocurrir
    que el sistema de ecuaciones formado por sus tres ecuaciones
    sea compatible indeterminado con un grado de libertad. Por
    tanto, estudiamos el sistema
    \begin{equation*}
    \left\lbrace \begin{array}{l}
    x+y+az=-2 \\ x+ay+z=-1 \\ ax+y+z=3 \end{array} \right.
    \end{equation*}
    Las matrices de coeficientes y ampliada son
    $A|A^* = \left( \begin{array}{rrr}
    1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{array} \right|
    \left. \begin{array}{r} -2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)$

    Hay que calcular los valores de $a$ que hacen $rg(A)=rg(A^*)=2$
    \begin{equation*}
    det(A)=a+a+a-a^3-1-1=-a^3+3a-2 = 0 
    \Rightarrow a^3-3a+2 = 0 \Rightarrow
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    \Rightarrow (a-1)(a^2+a-2)=0 \Rightarrow 
    \left\lbrace \begin{array}{ll} a-1=0 \\ a^2+a-2=0 \end{array}\right.
    \Rightarrow
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    \Rightarrow
    \left\lbrace \begin{array}{ll}
    a=1 \\ 
    a=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2} = \dfrac{-1\pm 3}{2}\end{array}\right.
    \Rightarrow a=
    \left\lbrace \begin{array}{rr} 1 \\ -2 \end{array}\right.
    \end{equation*}
    $a=1 \Rightarrow rg(A)=1$, luego $a=1$ no nos vale.

    $a=-2 \Rightarrow rg(A)=2$, ya que 
    $\left|  \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{array} \right|
    = -3 \ne 0$

    Para calcular $rg(A^*)$ intentamos ampliar este menor de orden
    2 con la columna de los términos independientes:
    \begin{equation*}
    \left| \begin{array}{rrr}
    1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & 3 \end{array} \right|
    = -6+2-2+8+1-3 = 0 \Rightarrow rg(A^*)=2
    \end{equation*}
    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $a=-2$\newpage

  \item Para $a=-2$ el sistema es equivalente al siguiente, que resolvemos dejando
    $x$ e $y$ en función de $z$.
    \begin{equation*}
      \left\lbrace \begin{array}{r}
      x+y=-2+2z \\ x-2y=-1-z \end{array} \right.
      \left| \begin{array}{r} \\ \end{array} \right.
      3y = -1 +3z \Rightarrow y=-\frac{1}{3}+z
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
      x+y=-2+2z \Rightarrow x=-y-2+2z = \frac{1}{3}-z-2+2z = -\frac{5}{3}+z
    \end{equation*}

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $\left\lbrace \begin{array}{l}
    x=-\frac{5}{3}+\lambda \\ y=-\frac{1}{3}+\lambda\quad (\lambda\in\mathbf R) \\ z=\lambda
    \end{array}\right.$
\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002sepb2.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}