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% Archivo: mat2008juna2.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2008JunA2)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2008. Examen de junio. \par
  Opción A. Ejercicio 2. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
  Dadas las rectas $r \equiv \left \{ \begin{array}{l} x-ay = 2 \\ ay+z = 1 \end{array} \right.$,
  \quad $s \equiv \left \{ \begin{array}{l} x-z = 1 \\ y+z = 3 \end{array} \right.$,
  se pide:
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1,5 puntos) Discutir la posición relativa de las dos rectas $r$, $s$ según los
      valores del parámetro $a$.
    \item (1,5 puntos) Si $a=1$, calcular la distancia mínima entre las dos rectas $r$, $s$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Encontramos dos puntos de la recta $r$:
    \begin{equation*}
    y=0 \Rightarrow
    \left\lbrace \begin{array}{ll} x=2 \\ z=1 \end{array} \right.
    \Rightarrow P_r=(2,0,1) \in r
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    y=1 \Rightarrow
    \left\lbrace \begin{array}{ll} x=a+2 \\ z=1-a \end{array} \right.
    \Rightarrow Q_r=(a+2,1,1-a) \in r
    \end{equation*}
    A partir del vector que une dos puntos de $r$ obtenemos el vector de
    dirección:
    \begin{equation*}
    \overrightarrow{P_rQ_r} = (a,1,-a) \Rightarrow \vec{v}_r=(a,1,-a)
    \end{equation*}
    Encontramos dos puntos de la recta $s$:
    \begin{equation*}
    z=0 \Rightarrow
    \left\lbrace \begin{array}{ll} x=1 \\ y=3 \end{array} \right.
    \Rightarrow P_s=(1,3,0) \in s
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    z=-1 \Rightarrow
    \left\lbrace \begin{array}{ll} x=0 \\ y=4 \end{array} \right.
    \Rightarrow Q_s=(0,4,-1) \in s
    \end{equation*}
    A partir del vector que une dos puntos de $s$ obtenemos el vector de
    dirección:
    \begin{equation*}
    \overrightarrow{P_sQ_s} = (-1,1,-1) \Rightarrow \vec{v}_s=(-1,1,-1)
    \end{equation*}

    Para que los vectores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ sean proporcionales
    debe ocurrir
    \begin{equation*}
    \dfrac{a}{-1}=\dfrac{1}{1}=\dfrac{-a}{-1} \Rightarrow -a=1=a
    \rightarrow \mbox{imposible.}
    \end{equation*}

    Como los vectores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ nunca son proporcionales,
    las rectas se cortan o se cruzan. Para distinguir los dos casos,
    resolvemos la ecuación
    $[\overrightarrow{P_sP_r},\vec{v}_r,\vec{v}_s]=0$:
    \begin{equation*}
    [\overrightarrow{P_sP_r},\vec{v}_r,\vec{v}_s] =
    \left| \begin{array}{rrr}
    1 & -3 & 1 \\ a & 1 & -a \\ -1 & 1 & -1
    \end{array}\right| =
    -1-3a+a+1+a-3a=-4a = 0 \Rightarrow a=0
    \end{equation*}

    % Solución
    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    Si $a=0$, son secantes; si $a \ne 0$, se cruzan.

  \item Si $a=1$, las rectas se cortan y por tanto
    $d(r,s)=\dfrac{|[\overrightarrow{P_sP_r},\vec{v}_r,\vec{v}_s]|}{|\vec{v}_r\times\vec{v}_s|}$
    \begin{equation*}
    \vec{v}_r\times\vec{v}_s = 
    \left| \begin{array}{rrr}
    \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1
    \end{array}\right| = (0,2,2)
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    d(r,s) = \dfrac{|[\overrightarrow{P_rP_s},\vec{v}_r,\vec{v}_s]|}{|\vec{v}_r\times\vec{v}_s|}
    = \dfrac{|-4 \cdot 1|}{\sqrt{0^2+2^2+2^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{8}} = 1.414
    \end{equation*}

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $1.414\:u$

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2008juna2.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}