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% Archivo: mat2008juna3.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
\ifpdf
\pdfinfo
  {
  /Title  (Mat2008JunA3)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2008. Examen de junio. \par
  Opción A. Ejercicio 3. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
  Estudiar los siguientes límites:
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1 punto). 
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} (e^x-x^2)$
    \item (1 punto).
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4^x+5^x}{3^x+6^x}$
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item
    $
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} (e^x-x^2) =
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} e^x \left( 1 - \dfrac{x^2}{e^x} \right)
    = \infty, \mbox { ya que}
    $
    \begin{equation*}
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{e^x} =
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x}{e^x} =
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \dfrac{2}{e^x} = 0
    \end{equation*}
   
    % Solución
    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    El límite es $\infty$

  \item
    $
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \dfrac{4^x+5^x}{3^x+6^x} =
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} 
    \dfrac{\frac{4^x}{6^x}+\frac{5^x}{6^x}}{\frac{3^x}{6^x}+\frac{6^x}{6^x}} =
    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} 
    \dfrac{\left( \frac{4}{6}\right)^x+\left( \frac{5}{6}\right) ^x}
          {\left(\frac{3}{6}\right) ^x+1} =
    \dfrac{0+0}{0+1} = 0
    $

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    El límite es 0

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2008juna3.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}