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% Archivo: mat2008junb2.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
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% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2008JunB2)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2008. Examen de junio. \par
  Opción B. Ejercicio 2. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
    \begin{enumerate}[a)]
    \item (1,5 puntos) Para cada valor de $c>0$, calcular el área de la
      región acotada comprendida entre la gráfica de la función:
      \begin{equation*}
      f(x)=cx^4 + \dfrac{1}{c}x^2 + 1,
      \end{equation*}
      el eje $OX$ y las rectas $x=0$, $x=1$.
    \item (1,5 puntos) Hallar el valor de $c$ para el cual el área obtenida
      en el apartado a) es mínima.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Como $f(x)$ no se anula en el intervalo [0,1], el área pedida
  es $\int _0 ^1 f$:
  \begin{equation*}
  \int _0 ^1 f = \int _0 ^1 \left( cx^4 + \dfrac{1}{c}x^2 + 1 \right) dx =
  \left. \dfrac{c}{5}x^5 + \dfrac{1}{3c}x^3 + x \right] _0 ^1  =
  \dfrac{c}{5} + \dfrac{1}{3c} + 1
  \end{equation*}

  % Solución
  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  El área es $\dfrac{c}{5} + \dfrac{1}{3c} + 1$

  \item Llamamos $A(c)=\dfrac{c}{5} + \dfrac{1}{3c} + 1$ y resolvemos
  la ecuación $A'(c)=0$:
  \begin{equation*}
  A'(c) = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3c^2}; \: A'(c)=0 \Rightarrow
  \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3c^2} =0 \Rightarrow 5 = 3c^2 \Rightarrow
  c = \pm \sqrt{\dfrac{5}{3}}
  \end{equation*}
  Como el enunciado pide $c>0$, solo estudiamos con $A''$ la solución
  positiva:
  \begin{equation*}
  A''(c) = \dfrac{2}{3c^3} \Rightarrow A''\left( \sqrt{\dfrac{5}{3}} \right) > 0
  \Rightarrow A \mbox{ tiene un mínimo en } c=\sqrt{\dfrac{5}{3}} = 1.291
  \end{equation*}

  % Solución

  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $c=1.291$

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2008junb2.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}