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% Archivo: mat2008junb3.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   X.14.1.2009
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% Tipo de documento
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% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2008JunB3)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2008. Examen de junio. \par
  Opción B. Ejercicio 3. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
    Dados los puntos $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,-1)$, $C=(0,1,-2)$ y $D=(1,2,0)$, se pide:
    \begin{enumerate}[a)]
    \item (0,5 puntos). Demostrar que los cuatro puntos no son coplanarios.
    \item (1 punto). Hallar la ecuación del plano $\pi$ determinado por los
      puntos $A$, $B$ y $C$.
    \item (0,5 puntos). Hallar la distancia del punto $D$ al plano $\pi$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Si el producto mixto $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},
  \overrightarrow{AD}]$ es distinto de cero, los puntos no son coplanarios:
  \begin{equation*}
  [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}] =
  [(1,0,-1),(0,1,-2),(1,2,0)] =
  \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} =
  1 + 4 = 5 \ne 0
  \end{equation*}

  \item El plano $\pi$ pasa por el punto $A$ y está generado por los vectores
  $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$.
  \begin{equation*}
  \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} =
  x + 2y + z \Rightarrow \pi \equiv x + 2y + z = 0
  \end{equation*}
  % Solución
  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $\pi \equiv x + 2y + z = 0$

  \item $d(D,\pi) = \dfrac{|1 + 2 \cdot 2 + 0|}{\sqrt{1+4+1}} =
  \dfrac{5}{\sqrt{6}} = 2.041$

  % Solución
  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  $d(D,\pi) = 2.041 \, u$

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2008junb3.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}